La complexité des définitions des quadrilatères.

mercredi 4 février 2009
par  Cyril Vandercolden

 

 Durant le cycle 3, les élèves apprennent à reconnaître les diférents quadrilatères usuels.
L’étude en collège est plus approfondie, puisque l’on passe d’un stade d’observation à un stade de justification, voire de démonstration.

 S’il est vrai qu’il est important de différencier les différents figures géométriques, il est nécessaire de montrer le lien qui les unit.

Des exemples de préjugés des élèves.
Exemple 1 :
Lors d’une étude sur Cabri-géomètre, des élèves de primaires devaient constrire un losange à l’aide du logiciel. En observant et en écoutant les élèves, on entend des petites phrases du types :
 
 

"attention, tu es en train de construire un carré  ! Vite, efface !!!"

 Cette petite phrase n’est pas anodine. Au collège, on demande généralement aux élèves de construire des figures et l’habitude montre qu’il faut souvent leur indiquer de ne pas tracer la représentation d’un cas particulier.

Au primaire, le sens est différent : tracer un carré, c’est commettre une erreur, car l’énoncé exige un losange.

Exemple 2 :
 En début d’année en sixième, il est toujours intéressant d’interroger les élèves sur les différentes définitions qu’ils connaissent.
En voici une particulièrement caractéristique :
 

"un rectangle est un quadrilatère ayant quatre angles droits et dont les côtés ne sont pas de la même longueur."

 
 

Arrêtons-nous quelques instant sur cette "définition".
 Les côtés ne sont pas de la mêmes longueurs : petit problème avec les côtés opposés qui eux, sont de même longueur.
L’idée de l’élève est en fait de préciser que les côtés consécutifs ne sont pas de même longueur. et là, problème n°2 : que devient le cas particulier du carré. La question se pose en tant qu’enseignant, mais pas pour l’élève qui pense que ces deux objets se ressemblent plus de loin que de près.

 Que se passe-t-il du point de vue mathématique  ?
Pour commencer je redonne quelques définitions usuelles, vue à travers les objectifs de sixième (il est à noter que le trapèze n’est officiellement dans aucun programme, et que le parallélogramme est au programme de la cinquième) :

Un trapèze est un quadrilatère non croisé dont deux côtés opposés sont parallèles.
Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles.

Un rectangle est un quadrilatère ayant quatre angles droits.
Un losange est un quadrilatère dont les quatre côtés sont de même longueur.
Un carré est un quadrilatère ayant quatre angles droits et dont les côtés sont de même longueur.

A l’aide de ses définitions et des propriétés qui en résultent, on se rend compte que :
le parallélogramme est un trapèze particulier
le losange et le rectangle sont des parallélogrammes particulier
le carré est un losange particulier et un rectangle particulier.

L’effort des enseignants de classe primaire pour apprendre à différencier le cas gnéral du cas particulier est important, mais il est impératif de préciser l’existence de ces cas particuliers.
Effectivement, si le cycle 3 insiste sur la reconnaissance du rectangle quelconque et la vérification de la non appartenance à la classe des carrés, il faut noter aussi que la meilleure façon de justifier la présence d’un carré au collège, est de vérifier que le quadrilatère est un losange et un rectangle simultanément.

 Séparer totalement les familles des rectangles et des carrés ets donc une source de blocage dans le raisonnement des élèves.

 Pour y remédier, il est possible de procéder ainsi :

  • construire avec les élèves un tableau récapitulant toute sles propriétés des quadrilatères et faire remarques la particularité du carré et son appartenance aux familles des losanges et des rectangles.
  • construire à partir des remarques un système d’ensembles inclus les uns dans les autres pour ancrer l’idée dans les esprits de manières visuelles.
  • insister lors de chaque séance d’exercices sur le sujet, que l’on cherche toujours le terme le plus précis permettant de définir le quadrilatère à reconnaîrte dans l’exercice.
Le réflexe étant pris, les élèves continuent de vérifier si les longueurs des côtés consécutifs sont égales, mais pour vérifier la contraposée de l’existence du carré.
 
 


Un complément de réflexion sur le vocabulaire utilisé

 
 

 Il est plus convenables de dire que les côtés sont de même longueur, ou ont la même longueur, plutôt que de dire qu’ils sont égaux.

 Deux figures sont égales lorsqu’elles sont confondues. Dans le cas des côtés d’un quadrilatère, c’est rarement le cas.
Des figures ayant les même "dimensions" sont dites isométriques.


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