Poser une multiplication d’entiers en base 5.

mardi 5 mai 2009
par  Cyril Vandercolden

Il est tellement habituel de travailler dans un système décimal qu’il est difficile d’imaginer quel mal peut avoir un élève lorsqu’il doit poser pour la première fois des multiplications.

Le but de cette présentation est de réaliser un calcul dans une autre base (la base 5) afin de se forcer à changer les habitudes.

Quelques remarques d’abord : Le système d’écriture en base 5 est un système à 5 chiffres : 0, 1, 2, 3, 4. Il est clair que quasiment personne ne maîtrise les tables opératoires de la base 5. C’est pour cette raison et afin que chacun puisse reconstituer l’opération, que j’ai reporté ici les deux tables d’additions et de mutiplication.

Table de Pythagore pour la multiplication :

\times 0 1 2 3 4 10
0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 10
2 0 2 4 11 13 20
3 0 3 11 14 22 30
4 0 4 13 12 31 40
10 0 10 20 30 40 100

Table de Pythagore pour l’addition :

+ 0 1 2 3 4 10
0 0 1 2 3 4 10
1 0 2 3 4 10 11
2 0 3 4 10 11 12
3 0 4 10 11 12 13
4 0 10 11 12 13 14
10 0 11 12 13 14 20

Faisons un exemple :

4 2 3 1
x 3 0 2
1 4 0 1 2 correspond à 4231 \times 2 (en base 5) soit (4 \times 5^3+2 \times 5^2+3 \times 5^1+1 \times 5^0 ) \times 2
0 0 0 0 0 correspond à 4231  \times  00
2 3 2 4 3 0 0 correspond à 4231  \times  300 (en base 5) soit (4 \times 5^3+2 \times 5^2+3 \times 5^1+1 \times 5^0 ) \times 3 \times 5^2
2 3 4 3 3 1 2

 

Que vaut 4231 (en base 5) en base 10 : A=4 \times 5^3+2 \times 5^2+3 \times 5^1+1 \times 5^0 A=4 \times 125+2 \times 25+3 \times 5+1 A=500+50+15+1 A=566

 

Que vaut 302 (en base 5) en base 10 :

B=3 \times 5^2+0 \times 5^1+2 \times 5^0

B=3 \times 25+0+2

 

B=77

 

En base 10 : A×B=43582

 

Que vaut 1343312 (en base 5) en base 10 :

C=1 \times 5^6+3 \times 5^5+4 \times 5^4+3 \times 5^3+3 \times 5^2+1 \times 5^1+2 \times 5^0

C=2 \times 15625+3 \times 3125+4 \times 625+3 \times 125+3 \times 25+5+2

C=31250+9375+2500+375+75+7

C=43582


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