Les trois théorèmes de la droite des milieux

mercredi 4 février 2009
par  Cyril Vandercolden

Le but de ce devoir est de démontrer les trois théorèmes de la droite des milieux :

Exercice 1 : Dans un triangle, la droite passant par les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté.

On considère un triangle quelconque ABC.
On I le milieu de [AB] et J le milieu de [BC]. On appelle K l’image du point I par la translation qui transforme J en I.
0) Faire une figure
1) Montrer que I est le milieu de [JK]
2) a) En justifiant la réponse, donner la nature de AJBK.
b) En déduire que (AK) et (BC) sont parallèles.
c) Montrer que AK = JC.
3) Déduire des questions précédentes que (IJ) et (AC) sont parallèles.
4) Compléter : " Dans un triangle, la droite passant par les milieux de deux côtés .............................................

Exercice 2 : Dans un triangle, le segment ayant pour extrémités les milieux de deux côtés a pour longueur la moitié de la longueur du troisième côté.

On considère la figure de l’exercice 1. On note L le milieu de [AC].
1) En utilisant la propriété énoncée à la question 4 de l’exercice 1, démontrer que ILCJ est un parallélogramme.
2) En déduire que IJ = CL, puis que IJ = ½ AC
3) Compléter : dans un triangle, le segment ayant pour extrémités les milieux de deux côtés a pour longueur .................................................

Exercice 3 : Dans un triangle, la droite parallèle à un côté et passant par le milieu du deuxième côté coupe le troisième en son milieu.

On considère un triangle ABC. On I le milieu de [AB] et J le milieu de [BC]. On note K l’image de A par la translation qui transforme C en J.
1) Faire une figure.
2) Démonter que les droites (AC) et (JK) sont parallèles.
3) En justifiant la réponse quelle est l’image de J par la translation qui transforme C en J.
4) En déduire que AKBJ est un parallélogramme.
5) Démontrer que I est le milieu de [JK]. On a donc démontré que la droite (JK) était la droite parallèle à (AC) passe par I.
6) Compléter : " dans un triangle, la droite parallèle à un côté et passant par le milieu du deuxième côté ............................................


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