La réciproque du théorème de Pythagore

mercredi 4 février 2009
par  Cyril Vandercolden

Sont admis pour ce théorème les connaissances de cinquièmes, ainsi que l’énoncé direct du théorème de Pythagore. Cette démonstration est réservée à des élèves de troisième maîtrisant les notations des puissances.

On considère un triangle ABC quelconque.
On suppose que l’on a la relation : AB² + AC²= BC².
On note H le pied de la hauteur issue de C.

On veut montrer que le triangle ABC est rectangle en A.
Le triangle AHC est rectangle en H. Le triangle BHC est rectangle en H.
On peut appliquer l’énoncé direct du théorème de Pythagore.
On a : AH² + HC² = AC²
BH² + HC² = BC²
On remplace dans la première expression AC² et BC² par les expressions ci-dessus.
AB² + (AH²+ HC² ) = BH² + HC²
On simplifie chaque membre par HC². On obtient :
AB² + AH² = BH² (1)

1ème cas : H appartient à [AB] mais n’est pas le point A.

on a AB = AH + BH.
AB² = AH² + BH²+ 2 AH . HB
(1) devient AH² + BH² + 2 AH . HB + AH² = BH²
En simplifiant l’écriture, on obtient :
2 AH² + 2 AH . HB = 0 soit en divisant chaque membre par 2,
AH² + AH . HB = 0
A et H étant différents, la longueur AH est strictement positive. AH et HB sont deux grandeurs positives, leur produit est donc positif.
la somme AH² + AH . HB est donc strictement positive, elle ne peut donc pas être égale à 0.
Il y a une contradiction. Le point H ne peut donc pas appartenir au segment [AB], le point A non compris.

2ème cas : H appartient à la demi-droite [BA) mais pas au segment [AB].

on a alors : A appartient à [HB] et donc HB = HA + AB
HB² = HA² + AB² + 2 HA . AB
(1) devient AB² + AH² = HA² + AB² + 2 HA . AB
en simplifiant, on obtient : 2 HA . AB = 0
Les points H, A, et B étant distincts, les longueurs HA et AB sont donc strictement positives. Leur produit est strictement positif. Il ne peut donc pas être égal à 0.
Il y a une contradiction, donc H n’appartient pas à la demi-droite à la demi-droite [BA) privé du segment [AB].

3ème cas : H appartient à la demi-droite [AB) mais pas au segment [AB].

on a alors : B appartient à [HA] et donc HA = HB + AB
HA² = HB² + AB² + 2 HB . AB
(1) devient AB² + (HB² + AB² + 2 HB . AB ) = BH² soit
2 AB² + 2 HB . AB = 0 soit : AB²+ HB . AB = 0
H, B, et A étant distincts, on arrive à une contradiction comme dans le 3ème cas.

4er cas : si H = A
on a : AB² + AA² = BA²
le cas H = A ne présente pas de contradiction.

Conclusion : la seule position possible du point H est le point A. Les points H et A sont donc confondus. Les droites (HC) et (HB) étant perpendiculaires, les droites (AC) et (AB) sont perpendiculaires. Le triangle ABC est donc rectangle en A.


Navigation

Agenda

<<

2020

>>

<<

Mai

>>

Aujourd'hui

LuMaMeJeVeSaDi
27282930123
45678910
11121314151617
18192021222324
25262728293031
Aucun évènement à venir les 6 prochains mois