Le concours des hauteurs d’un triangle

mercredi 4 février 2009
par  Cyril Vandercolden

Soit ABC un triangle quelconque.
On note d_{1} la droite parallèle à (AB) passant par C.
On note d_{2} la droite parallèle à (AC) passant par B.
On note d_ {3} la droite parallèle à (BC) passant par A.
Les droites d_{1} et d_{2} se coupent en E.
Les droites d_{2} et d_{3} se coupent en F.
Les droites d_{1} et d_{3} se coupent en G.
On appelle D_{A} la hauteur issue de A du triangle ABC.
On appelle D_{B} la hauteur issue de B du triangle ABC.
On appelle D_{C} la hauteur issue de C du triangle ABC.

1) Faire une figure.

2) a) Démontrer que : AFBC est un parallélogramme. En déduire que AF = BC.
Montrer que A est le milieu de [GF].

b) Montrer que D_{A} est perpendiculaire à (FG)

c) Que peut-on dire de D_{A} par rapport à [FG] ?
En déduire le rôle de D_{A}, D_{B}, D_{C} dans le triangle EFG.

4) Démontrer que D_{A}, D_{B}, et D_{C} sont concourantes.

5) Conclusion : que peut-on dire des hauteurs d’un triangle ?


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