Le vocabulaire de la divisibilité

mercredi 4 février 2009
par  Cyril Vandercolden


I. Quelques rappels :
Soit a et b sont deux entiers relatifs.
a est un multiple de b lorsqu’il existe un entier relatif k tel que : a = k b
a est divisible par b lorsque a est un multiple de b.
on dit alors que b est un diviseur de a.

Propriété : a est un multiple de b lorsque le reste de la division euclidienne de a par b est égal à zéro.

II. Critères de divisibilité :
Tous les critères utilisés et exprimés ici reposent sur l’utilisation du système décimal et l’utilisation des nombres indo-européens. L’utilisation d’une autre base, modifiant totalement les résultats énoncés. Je ne donne pas les résultats en base quelconque, leur formulation étant compliquée et inutile pour ce qu’il est nécessaire de savoir pour les élèves.
un nombre est divisible par 2 lorsque son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6,ou 8.
un nombre est divisible par 5 lorsque son chiffre des unités est 0 ou 5.
un nombre est divisible par 10 lorsque son chiffre des unités est 0.
un nombre est divisible par 2 lorsqu’il se termine par 00, 25, 50, 75.

un nombre est divisible par 3 lorsque la somme des chiffres qui composent son écriture est elle-même un multiple de 3.
un nombre est divisible par 9 lorsque la somme des chiffres qui composent son écriture est elle-même un multiple de 9.
un nombre est divisible par 11 losque la différence des sommes des chiffres de rangs pairs et impairs est elle-même un multiple de 11.

exemple : 185914256 est divisible par 11 car 1+5+1+2+6=15 8+9+4+5=26 26-15=11.
 

Il est préférable d’éviter le plus rapidement possible d’utiliser l’expression "est dans la table de" pour lui préférer l’expression "est un multiple de".
Le mot multiple est un mot du langage arithmétique courant et ne fait appel qu’aux concepts de la multiplication.
 Les tables, se réfèrent historiquement aux tables élaborées par Pythagore au VIème siècle avant Jésus-Christ.
Une table désigne un recueil d’informations, groupées de manière systématiques, en vue d’une consultation aisée.
On fait apprendre aux élèves les tables "jusqu’à 10". Il y a alors un problème pour 110 qui n’apparaît pas dans les "tables" usuelles.

 Enfin, ce mot cache une théorie beaucoup plus complexe  : celle des groupes, reposant sur la stabilité des lois internes.
Il est vrai que cette théorie n’est pas primordiale pour un élève de primaire, mais bon, autant utiliser le vocabulaire du collège le plus tôt possible.

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